1=2

Este es un problema interesante que promueve un concepto matemático fundamental.


Tengo dos número a y b. Supongamos que:

Ahora multiplico en ambos miembros por a:

Sumo (a^2-2ab) en ambos miembros:

Agrupando:

Saco factor común a cada miembro:

A continuación simplifico por (a-b) en cada miembro:

Por lo tanto, simplificando a en cada miembro:

¿Qué hice mal?

El desorden

Muchas veces podemos haber escuchado la palabra entropía, esta representa un concepto y una propiedad de la termodinámica.

La entropía fue descubierta y enunciada en 1865 por Rudolf Clausius, un excelente físico alemán. Entonces estamos hablando de un concepto físico que tiene más de 135 años y que aún hoy es díficil definirlo y entenderlo por completo.

Ahora quiero tratar de que nos acerquemos un poco al significado de esta "palabra" que tanto encierra. Es muy extendido en la física definir a la entropía como una medida del desorden molecular de un sistema. Con esto nos referimos a que las posiciones de cada una de las moléculas determina el grado de entropía. Si es más dificil predecir las posiciones de las moléculas, este sistema tiene un alto grado de desorden y por ende su entropía es alta. Por lo tanto podemos decir, que un sistema que se encuentra en estado gaseoso tiene mayor entropía que uno en estado sólido. Las moléculas del primero se mueven de forma azarosa en todas direcciones, rotan sobre su propio eje, chocan entre sí, cambian repentinamente su dirección y velocidad. Realmente un verdadero caos, comparado con el cristal sólido donde todas sus moléculas respetan un casi perfecto orden y solo se limitan a bambolearse en su lugar.

Para cada sistema existe una cantidad de posibles configuraciones moleculares. La entropía está relacionada con esa cantidad que vamos a denominar probabilidad  termodinámica p.

Ludwig Boltzmann, físico austríaco, descubrió la constante k que lleva su nombre y que le permitó relacionar la entropía con la probabilidad termodinámica y de esta manera dio una definición matemática a la dura entropía,

Donde S es la entropía, k la constante de Boltzamann y p la probabilidad termodinámica. Por ende, la entropía es mayor a medida que la incertidumbre sobre la configuración microscópica de un sistema aumenta.

Esta relación de Boltzamann devino en el enunciado del tercer principio de la termodinámica. A medida que un sólido se enfría, va disminuyendo el bamboleo de sus moléculas y por ende disminuye la aleatoriedad sobre sus posiciones. Cuando se llega al cero absoluto (-273ºC), cesa totalmente la vibración de las moléculas, la configuración posible es una sola y no hay incertidumbre. Por lo tanto la probabilidad termodinámica es 1 y la entropía vale 0. La entropia de una sustancia pura cristalina en el cero absoluto es cero, este es el tercer principio de la temrodinámica.

Otro aspecto importante de la entropía y que se deduce del segundo principio de la termodinámica es que esta siempre tiende a crecer. Clausius en su definición de la entropía, demostró que el cambio de esta en un sistema reversible es,

El cambio de entropía dS es igual a la relación entre el calor intercambiado por un sistema dQ y la temperatura T en los límites de este. Combinando esto con el segundo principio se obtiene,

 

Es decir que en cualquier transformación no reversible, la entropía de un sistema aislado siempre crece. Esto tiene una consecuencia muy importante. Si consideramos como sistema a todo el Universo, este sería un sistema aislado ya que no posee alrededores. Entonces la entropia del sistema Universo siempre crece. El Universo está en un estado constante de desorden creciente, algo que lo llevará a ser un Universo frío sin energía utilizable para fromar estrellas, galaxias y todo lo que conocemos hoy.

La identidad de Euler

Leonard Euler fue un gran matemático y físico, nacido en 1707 en Basilea (Suiza). Es considerado el mejor matemático de siglo XVIII y uno de los mejores de la historia.

Aportó grandes ideas en los campos del cálculo, geometría, lógica, teoría de números, hidrodinámica, mecánica, electromagnetismo y demás. Fue verdaderamente un genio.

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas.

Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria, si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de -1,

Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

 

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

 

Por lo tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún.

Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

Ó, resulta lo mismo escribir,

Esta es la identidad de Euler, la ecuación más famosa de la matemática. En ella se puede decir que está resumida toda la matemática. Encontramos los conceptos de suma, multiplicación, exponenciación e identidad. Tenemos también, los cinco números fundamentales, el cero, el uno, pi, el número e y el número i.

Esta ecuación expresa con unos pocos símbolos matemáticos, una belleza infinita. Digna de un genio como Euler.

El comienzo

Empiezo con este blog donde me gustaría que mucha gente que se interesa por cosas tan fascinantes como el comportamiento azaroso de un electrón alrededor de un núcleo o que la raíz cuadrada de -1 es un numero que escapa a la realidad, comparta su admiración por todo esto. Y para aquellos a los que no les interesa demasiado puedan entender un poco más, y tal vez empezar a fascinarse con las maravillas que ofrece nuestro Universo.
"El Libro de la Naturaleza está escrito en lenguaje matemático" dijo Galileo. Y es practicamente imposible entender nuestra Naturaleza si no entendemos la matemática, y por ende la física.
Espero que este sitio pueda ayudar a que más y más gente pueda entender el idioma en el que nos habla la naturaleza toda.
Empecemos, y juguemos Da2.